题解析
本文将为大家详细解析2011年的考研数学二真题。该试卷的难度属于中等难度，整体布局和题型都较为平稳，偏向数学分析和代数方面，适合需要巩固基础的考生进行练习。
一、选择题部分
1.本题考察函数的极限，通过夹逼定理易得 $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$，因此选项 D 正确。
2.本题考察函数的连续性及极限，根据极限的定义易得 $\lim\limits_{x \rightarrow 0}f(x)=1$，而在 $x=0$ 处的极限不存在，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。选项 C 正确。
3.本题考察函数的导数及极值问题，先求 $f'(x)=2x^3 3x^2 6yx6y$，令 $f'(x)=0$ 可得 $x=0,\dfrac{1}{2}$，代入得 $f(0)=0,f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{4}$，因此最大值为 $\dfrac{5}{4}$，最小值为 $0$，选项 D 正确。
4.本题考察级数的收敛性，注意到 $a_n=\dfrac{\ln n}{n}$ 是单调递减的，而 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=0$，因此根据比较判别法易得 $\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac{\ln n}{n\ln\ln n}$ 收敛，选项 B 正确。
5.本题考察路径无关积分、格林公式及向量的运算，设 $C_1$ 和 $C_2$ 分别为两个圆的周长，设第一个圆的半径为 $a$，第二个圆的半径为 $b$，则
$$\oint_C(x^2 y^2)\mathrm{d}x (xy e^{2x})\mathrm{d}y=\oint_{C_1}x^2\mathrm{d}s \oint_{C_2}x^2\mathrm{d}s \iint_{D}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}\dfrac{\partial Q}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$$
其中 $D$ 为圆盘区域， $P=x^2 xy,\ Q=xy e^{2x}$，代入$\iint_{D}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}\dfrac{\partial Q}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma$ 中可得 $\iint_{D}\left(\dfrac{\partial P}{\partial x}\dfrac{\partial Q}{\partial y}\right)\mathrm{d}\sigma=0$，因此积分路径无关，只需计算 $C_1$ 和 $C_2$ 上积分的值。利用极坐标变量易得 $C_1=2\pi a,\ C_2=2\pi b$，代入可得 $\dfrac{4}{3}\pi(a^3 b^3) \pi(e^{2a}e^{2b})$，因此选项 C 正确。
二、填空题部分
1.本题考察多元函数的极值，利用偏导数法可得 $\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{y}(2x1),\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=xe^{y}e^{y}$，令偏导数为零，得到 $(0, \infty)$ 中的所有临界点，然后代入函数 $f(x,y)$ 中，比较大小即可得到所有可能的最大值和最小值，因此填空为 $2$ 和 $1$。
2.本题考察矩阵求逆的方法，设 $A^{1}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，则可得到方程组
$$\begin{cases}a 2c=1\\b 2d=0\\a 3d=1\\b 3c=0\end{cases}$$
解出 $a=2,b=3,c=1,d=0$，因此填空为 $2,3,1,0$。
3.本题考察多元函数的偏导数及梯度，对 $\phi(x,y)$ 求偏导数可得 $\dfrac{\partial \phi}{\partial x}=16x^32x,\ \dfrac{\partial \phi}{\partial y}=2y$，因此 $\nabla\phi=(16x^32x,2y)$，代入 $\nabla\phi\cdot \vec{n}$ 中可得 $12$。
三、计算题部分
1.本题考察微分方程的求解和极限的计算，先求解微分方程可得 $y=\dfrac{e^x}{(1 x^2)^{1/4}} Ce^{x}$，代入极限可得 $\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left(\dfrac{e^x}{(1 x^2)^{1/4}} Ce^{x}\right)= \infty$，因此 $C=0$，即 $y=\dfrac{e^x}{(1 x^2)^{1/4}}$，选项 C 正确。
2.本题考察向量叉积的运算，记 $\vec{a}=(1,1,0),\ \vec{b}=(1,0,1),\ \vec{c}=(0,1,1)$，则 $\vec{a}\times(\vec{b}\times \vec{c})=\vec{a}\times (1,1,1)=2(1,1,1)$，代入可得 $\dfrac{|2(1,1,1)|}{|\vec{a}\times \vec{b} \vec{a}\times \vec{c} \vec{b}\times \vec{c}|}=1$，因此选项 A 正确。
3.本题考察数列极限的计算，利用等比数列的性质可得
$$\begin{aligned}\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{i}{2^{i1}}&=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{2i}{2^{i}}\\
&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\dfrac{2}{2} \dfrac{4}{2^2} \cdots \dfrac{2n}{2^n}\right)\\
&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{2}{2^i} 2\\
&=2 2\\
&=4\end{aligned}$$
因此选项 C 正确。
四、证明题部分
1.本题考察级数的一致收敛性，对于 $x \in [0,1]$，移项并利用 $\dfrac{1}{1 x^2}\geqslant 0$ 可得
$$|f_n(x)|=\left|\dfrac{(1)^nx^{2n}}{1 x^2}\right|\leqslant x^{2n}$$
当 $x\in[0,1)$ 时，等比数列的性质可得 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} x^{2n}=0$，于是得到 $|f_n(x)|\leqslant x^{2n}$，因此 $\sum\limits_{n=1}^\infty |f_n(x)|$ 收敛于 $\sum\limits_{n=1}^\infty x^{2n}$，因此 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上一致收敛。对于 $x=1$，级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(1)^n}{2n1}$ 为莱布尼兹级数，是收敛的，因此 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。因此级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(1)^nx^{2n}}{1 x^2}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，证毕。
2.本题考察连续函数与一致连续函数的定义及证明，$g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，因此对于任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，对于任意 $x,y \in \mathbb{R}$，当 $|xy|<\delta$ 时有 $|g(x)g(y)|<\dfrac{\epsilon}{2}$。又 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，因此对于 $\dfrac{\epsilon}{2\delta}$，存在 $\eta>0$，使得对于任意 $x,y \in \mathbb{R}$，当 $|xy|<\eta$ 时，有 $|f(x)f(y)|<\dfrac{\epsilon}{2\delta}$。现取 $\epsilon>0$，对应 $\delta$ 和 $\eta$，则对于 $\forall x,y\in\mathbb{R}$，当 $|xy|<\min\{\delta,\eta\}$ 时，有
$$|f(x)g(x)f(y)g(y)|\leqslant |f(x)(g(x)g(y)) g(y)(f(x)f(y))|$$
$$\leqslant |f(x)||g(x)g(y)| |g(y)||f(x)f(y)|<\epsilon$$
因此 $f(x)g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。证毕。
综上，2011年考研数学二试卷难度中等，内容涵盖微积分、线性代数、数学分析和概率统计。考生可以通过练习这套试题，全面巩固自己的数学基础并提高解题能力。